कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ को ${(2 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$2 \sin (t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

चरण 2.2.2.2

उत्पाद नियम को $2 (\sin (t))$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

चरण 2.2.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

चरण 4

$\sin^{2} (t)$ को $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 6.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

चरण 10

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 10.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 10.4

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

चरण 10.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

चरण 10.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

चरण 10.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 10.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 10.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 11

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{π}{6}$ पर और $0$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

चरण 14.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{π}{3}$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

चरण 14.2.2

$\frac{π}{6}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

चरण 14.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

चरण 14.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

चरण 14.3.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

चरण 14.3.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 14.3.5

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

चरण 14.3.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

चरण 14.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

चरण 14.4.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

चरण 14.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

चरण 14.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

चरण 14.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

चरण 14.4.3.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

चरण 14.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

चरण 14.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

चरण 14.4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 15

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

दशमलव रूप:

$0.18117214 \dots$