कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$0 + \frac{1}{x}$

चरण 1.1.4

$0$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$\frac{1}{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 1.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

चरण 1.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

चरण 1.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

चरण 3

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

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चरण 3.1

$1 + \ln (3)$ पर और $1$ पर $\frac{1}{4} u^{4}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{4}$ और ${(1 + \ln (3))}^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

चरण 3.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

चरण 3.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

चरण 3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

दशमलव रूप:

$4.59918613 \dots$