कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 x^{3} - x - 3$

चरण 1

$y = 3 x^{3} - x - 3$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{3} - x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.2.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$9 x^{2} - 1 + 0$

चरण 2.4.2

$9 x^{2} - 1$ और $0$ जोड़ें.

$9 x^{2} - 1$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$9 x^{2} = 1$

चरण 3.2

$9 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $9$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$9 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करें.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

चरण 3.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

चरण 3.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

चरण 3.4.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

चरण 3.4.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

चरण 3.4.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{1}{3}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{1}{3}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{1}{3}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न $9 x^{2} - 1$ में अंतराल $(- \infty, - \frac{1}{3})$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

चरण 5.2.1.2

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = 81 - 1$

चरण 5.2.2

$81$ में से $1$ घटाएं.

$f' (- 3) = 80$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $80$ है.

$80$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न $9 x^{2} - 1$ में अंतराल $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

चरण 6.2.1.2

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 - 1$

चरण 6.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f' (0) = - 1$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$- 1$

चरण 7

पहले व्युत्पन्न $9 x^{2} - 1$ में अंतराल $(\frac{1}{3}, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

चरण 7.2.1.2

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (3) = 81 - 1$

चरण 7.2.2

$81$ में से $1$ घटाएं.

$f' (3) = 80$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $80$ है.

$80$

चरण 8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = - \frac{1}{3}$ के आसपास बदल दिया, फिर $x = - \frac{1}{3}$ पर एक टर्निंग पॉइंट है.

चरण 9

टर्निंग पॉइंट ज्ञात करने के लिए $- \frac{1}{3}$ का y-निर्देशांक ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- \frac{1}{3}$ का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $f (- \frac{1}{3})$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{3}$ से बदलें.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.4

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.5.1

$- \frac{1}{27}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.5.2

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.7

$- (- \frac{1}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 9.1.2.2.7.2

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

चरण 9.1.2.3

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.3.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

चरण 9.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

चरण 9.1.2.3.3

$- 3$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

चरण 9.1.2.3.4

$\frac{- 3}{1}$ को $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

चरण 9.1.2.3.5

$\frac{- 3}{1}$ को $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

चरण 9.1.2.3.6

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

चरण 9.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

चरण 9.1.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.5.1

$- 3$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

चरण 9.1.2.5.2

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2 - 27}{9}$

चरण 9.1.2.5.3

$2$ में से $27$ घटाएं.

$\frac{- 25}{9}$

चरण 9.1.2.5.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{25}{9}$

चरण 9.2

$x$ और $y$ निर्देशांक बिंदु रूप में लिखें.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

चरण 10

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = \frac{1}{3}$ के आसपास बदल दिया, फिर $x = \frac{1}{3}$ पर एक टर्निंग पॉइंट है.

चरण 11

टर्निंग पॉइंट ज्ञात करने के लिए $\frac{1}{3}$ का y-निर्देशांक ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{3}$ का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $f (\frac{1}{3})$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.2.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.2.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.2.4.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.2.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

चरण 11.1.2.3

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.3.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

चरण 11.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

चरण 11.1.2.3.3

$- 3$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

चरण 11.1.2.3.4

$\frac{- 3}{1}$ को $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

चरण 11.1.2.3.5

$\frac{- 3}{1}$ को $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

चरण 11.1.2.3.6

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

चरण 11.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

चरण 11.1.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.5.1

$- 3$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

चरण 11.1.2.5.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 2 - 27}{9}$

चरण 11.1.2.5.3

$- 2$ में से $27$ घटाएं.

$\frac{- 29}{9}$

चरण 11.1.2.5.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{29}{9}$

चरण 11.2

$x$ और $y$ निर्देशांक बिंदु रूप में लिखें.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

चरण 12

ये टर्निंग पॉइंट हैं.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

चरण 13