कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{2 x + y} = 2 x$

चरण 1

$\sqrt{2 x + y}$ को ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 x$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 2 x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.8

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.10

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.11

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$

चरण 3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 + y') \frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.12.2

$2 + y'$ को $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.2

$2 \cdot 1$

चरण 4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2$

चरण 6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दोनों पक्षों को $2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.3

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 + y' = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.4

$2$ और $y'$ को पुन: क्रमित करें.

$y' + 2 = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y' + 2 = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$y' = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$

चरण 7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$