कैलकुलस उदाहरण

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

चरण 1

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

चरण 4

$2^{\sqrt{x}}$ और $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ को मिलाएं.

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

चरण 5

चूँकि $\ln (2)$ बटे $x$ अचर है, $\ln (2)$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

चरण 6.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 6.3

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

चरण 6.4

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

चरण 6.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

चरण 6.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 7

मान लीजिए $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , तो $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 7.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 7.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 7.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 7.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 7.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 7.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 7.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

चरण 7.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.1.8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 8

$2$ को $2^{u_{1}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 8.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = 1 + u_{1}$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = 1 + u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$1 + u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $1 + u_{1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 9.1.3

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 9.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 9.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 10

$u_{2}$ के संबंध में $2^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ है.

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ को $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

चरण 11.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\ln (2)$ और $\frac{1}{\ln (2)}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

चरण 11.2.2

$\ln (2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

चरण 11.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

चरण 11.2.3

$2^{u_{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2^{u_{2}} + C$

चरण 12

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + u_{1}$ से बदलें.

$2^{1 + u_{1}} + C$

चरण 12.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$