कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

चरण 1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

चरण 1.2

घातांक को ${(x^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

चरण 1.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1^{2}$

चरण 2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2^{2}$

चरण 2.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

चरण 2.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ को ${u_{1}}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.3

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ को ${u_{1}}^{- 2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.3

$\frac{1}{2}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.4

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2.4.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

चरण 3.4

$\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ और ${u_{1}}^{- 2}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

चरण 3.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${u_{1}}^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${u_{1}}^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

चरण 5.2

घातांक को ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

चरण 5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .फिर $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , तो $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2 {u_{1}}^{- 1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 {u_{1}}^{- 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

चरण 6.1.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

चरण 6.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

चरण 6.1.5.2

$- 2$ और $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

चरण 6.1.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

चरण 6.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

चरण 6.3.2

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

चरण 6.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

चरण 6.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 2$

चरण 6.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

चरण 6.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

चरण 6.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

चरण 6.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 6.6

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 6.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7

चूँकि $- \frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- \frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

चरण 10

$\frac{1}{2}$ पर और $2$ पर $e^{u_{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

चरण 11.2

$e^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

चरण 11.3

$- \frac{1}{4} (- e^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

चरण 11.3.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

चरण 11.3.3

$\frac{1}{4}$ और $e^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

दशमलव रूप:

$1.43508370 \dots$

चरण 13