कैलकुलस उदाहरण

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

चरण 1

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

चरण 2

फलन

$F (x)$ को व्युत्पन्न

$f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

चरण 4

मान लीजिए

$u = x + 3$ . फिर

$d u = d x$ .

$u$ और

$d$

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें

$u = x + 3$ .

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$x + 3$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 4.1.4

चूंकि

$x$ के संबंध में

$3$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$3$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.1.5

$1$ और

$0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

$u$ और

$d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 3$ और

$1$ जोड़ें.

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

चरण 5.2

$- 3$ और

$2$ जोड़ें.

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

चरण 6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

चरण 6.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.7

$u$ और

$- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.8

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.9

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.11

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.12

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.13

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.14

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.15

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.16

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.17

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.19

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.20

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.21

$u$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.22

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.23

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

चरण 6.24

$- 2$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

चरण 6.25

$- u^{2}$ में से

$2 u^{2}$ घटाएं.

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार,

$u$ के संबंध में

$u^{3}$ का समाकलन

$\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

चरण 9

चूँकि

$- 3$ बटे

$u$ अचर है,

$- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार,

$u$ के संबंध में

$u^{2}$ का समाकलन

$\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

चरण 11

चूँकि

$2$ बटे

$u$ अचर है,

$2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

चरण 12

घात नियम के अनुसार,

$u$ के संबंध में

$u$ का समाकलन

$\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सरल करें.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$\frac{1}{2}$ और

$u^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

चरण 13.2.2

$2$ और

$\frac{u^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

चरण 13.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

चरण 13.2.3.2

$u^{2}$ को

$1$ से विभाजित करें.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को

$x + 3$ से बदलें.

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

चरण 16

उत्तर फलन

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$