कैलकुलस उदाहरण

$y = x e^{- x^{2}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x^{2}}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.7.2

$- 2$ को $e^{- x^{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

चरण 1.9

$e^{- x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

चरण 1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.10.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

चरण 1.10.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{- x^{2}}$ है.

$- 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- 2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.4

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.5

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.6

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.8

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$x$ ले जाएं.

$- 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.8.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.8.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.2.9

$- 2$ को $e^{- x^{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.2

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3.3

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

चरण 2.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 2.4.2.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 2.4.2.3

$e^{- x^{2}}$ ले जाएं.

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

चरण 2.4.2.4

$- 4 x e^{- x^{2}}$ में से $2 x e^{- x^{2}}$ घटाएं.

$4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

चरण 2.4.4

गुणनखंडों को $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$