कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय शृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{i}$ और $a_{i + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3^{- (i + 1)}$ और $3^{- i}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$3^{- (i + 1)}$ में से $3^{- i}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

चरण 2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

चरण 2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

चरण 2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

चरण 2.2.1.2.4

$3^{- (i + 1) + i}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

चरण 2.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

चरण 2.2.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$r = 3^{- i - 1 + i}$

चरण 2.2.3

$- i - 1 + i$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$- i$ और $i$ जोड़ें.

$r = 3^{0 - 1}$

चरण 2.2.3.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$r = 3^{- 1}$

चरण 2.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{1}{3}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके शृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$i$ के स्थान पर $3^{- i}$ में $- 2$ प्रतिस्थापित करें.

$a = 3^{2}$

चरण 3.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$a = 9$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को $3$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

चरण 5.1.2

जोड़ना.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

चरण 5.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.2

$3^{6}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.5

$3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.8

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{243}{243}$ से गुणा करें.

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.9

$3$ और $\frac{243}{243}$ को मिलाएं.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.11.1

$3$ को $243$ से गुणा करें.

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11.2

$729$ में से $1$ घटाएं.

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

चरण 5.5.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

चरण 5.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 5.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$728$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 5.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 5.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 (\frac{364}{243})$

चरण 5.8

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$243$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$9 \frac{364}{9 (27)}$

चरण 5.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

चरण 5.8.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{364}{27}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{364}{27}$

दशमलव रूप:

$13.\overline{481}$

मिश्रित संख्या रूप:

$13 \frac{13}{27}$