कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = \cos (2 x)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = \cos (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\cos (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 2.1.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x)$

चरण 2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 3.2

$\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

चरण 3.3

$2$ को $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

चरण 5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 8

$1 + 9 {u_{2}}^{2}$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$1$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 8.2

$9 {u_{2}}^{2}$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

चरण 8.3

$9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

चरण 10

$\frac{1}{9}$ को ${(\frac{1}{3})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 11

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ है.

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

चरण 12.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

चरण 12.1.3

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

चरण 12.1.4

$3$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

चरण 12.2

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ को $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3.2

$- 3$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3.3

$- 3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.3.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.3.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 12.3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

चरण 13

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (2 x)$ से बदलें.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$