कैलकुलस उदाहरण

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

चरण 1

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ को $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

चरण 4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

चरण 4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

चरण 4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$\sin (2 x) \sin (2 x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1.1

$\sin (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

चरण 4.3.1.1.2

$\sin (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

चरण 4.3.1.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

चरण 4.3.1.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

चरण 4.3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

चरण 4.3.1.3

$- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

चरण 4.3.1.3.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

चरण 4.3.1.3.3

$\cos (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

चरण 4.3.1.3.4

$\cos (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

चरण 4.3.1.3.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

चरण 4.3.1.3.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

चरण 4.3.2

$- \sin (2 x) \cos (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

चरण 4.3.3

$- \cos (2 x) \sin (2 x)$ में से $\cos (2 x) \sin (2 x)$ घटाएं.

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

चरण 4.4

$\cos^{2} (2 x)$ ले जाएं.

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 4.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 7

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 8

मान लीजिए $u_{2} = \cos (2 x)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{2} = \cos (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\cos (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 8.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 8.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 8.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 8.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 8.1.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x)$

चरण 8.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

चरण 11

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 13.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 13.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

चरण 13.3

$\int u_{2} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

चरण 14

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 15

सरल करें.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 16

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (2 x)$ से बदलें.

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

चरण 17

उत्तर फलन $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$