कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \frac{x - 5}{2 x + 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ से बदलें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{2 x + 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 5$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{(2 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$2 x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.10.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - (x - 5) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 3.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 (x - 5)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 4.2.1

$2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot - 5$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{0 + 1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 - 2 \cdot - 5}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.2

$- 2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{1 + 10}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.3

$1$ और $10$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x - 5}{2 x + 1})}^{2} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

उत्पाद नियम को $\frac{x - 5}{2 x + 1}$ पर लागू करें.

$3 \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 5.2.1

$3$ और $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.2.2

$\frac{3 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2}}$ को $\frac{11}{{(2 x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 11}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.2.3

$11$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

चरण 5.2.4

घातांक जोड़कर ${(2 x + 1)}^{2}$ को ${(2 x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 5.2.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{2 + 2}}$

चरण 5.2.4.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{33 {(x - 5)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{4}}$