कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 8$ है.

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2$ को $x^{2} + 8$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 3.9.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.3.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.3.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.3.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3.3

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.4

${(x + 1)}^{2}$ को $(x + 1) (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.6.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.6.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.6.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.6.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.6.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.8.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.8.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.10.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.10.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.10.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.10.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.10.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.10.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.10.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.10.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.1.10.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.2.2

$2 x^{2} + 16 x + 16$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.3

$2 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.2.4

$16 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 2 x^{2} + 14 x + 16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.1.2

$14 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.1.3

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.1.5

$2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ है और जिसका योग $b = 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$7 x$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.2.1.2

$7$ को $- 1$ जोड़ $8$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.3.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.4

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.5

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.6

$- (x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.7

$- (x + 1)$ को $- 1 (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

चरण 4.9

गुणनखंडों को $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$