कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} - x - 11$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक को ${(e^{x})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

चरण 2.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - x - 11$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ है.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 11$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 11$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 2.8

$2 x - 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.1.2

$- 1$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.1.3

$- 1 e^{x}$ को $- e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.1.4

$- - x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.1.4.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.1.5

$- 1$ को $- 11$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.2

$2 e^{x} x$ और $x e^{x}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.2.2

$2 x e^{x}$ और $x e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.4.3

$- e^{x}$ और $11 e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1.1

$3 e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.1.2

$- e^{x} x^{2}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.1.3

$10 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.1.4

$e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.1.5

$e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.2

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ है और जिसका योग $b = 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.2.1

$3 u$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3.2.2

$3$ को $- 2$ जोड़ $5$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.3.4

महत्तम समापवर्तक, $- u - 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.4

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

चरण 4.7

$e^{x}$ और $e^{2 x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

चरण 4.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

चरण 4.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

चरण 4.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

चरण 4.7.2.4

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ को $1$ से विभाजित करें.

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

चरण 4.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

चरण 4.9

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

चरण 4.10

$- 2$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

चरण 4.11

FOIL विधि का उपयोग करके $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

चरण 4.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

चरण 4.11.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

चरण 4.12

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

चरण 4.12.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

चरण 4.12.1.2

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

चरण 4.12.1.3

$- 5$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

चरण 4.12.2

$5 e^{- x} x$ में से $2 e^{- x} x$ घटाएं.

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

चरण 4.13

गुणनखंडों को $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$