कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.1.3

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.1.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\cos (3 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.3.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}$

चरण 1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}$

चरण 1.3.2

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}$

चरण 1.3.3

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

चरण 1.3.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

चरण 1.3.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

चरण 1.3.5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.2.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

चरण 1.3.5.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{1 - 1}$

चरण 1.3.5.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.3.5.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.3.5.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.3.6

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) - 1}{e^{- x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (3 x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.3.5

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x) + 0}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.5

$- 3 \sin (3 x)$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}$

चरण 3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{- x} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.3

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.7.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x} + 0}$

चरण 3.9

$- e^{- x}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- e^{- x}}$

चरण 4

$- 3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{- e^{- x}}$

चरण 5

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

चरण 6

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$- 3 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

चरण 7

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - e^{- x}}$

चरण 8

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} e^{- x}}$

चरण 9

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{lim_{x \to 0} - x}}$

चरण 10

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 3 \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

चरण 11

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{- lim_{x \to 0} x}}$

चरण 11.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- 3 \frac{\sin (3 \cdot 0)}{- e^{0}}$

चरण 12

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{\sin (0)}{- e^{0}}$

चरण 12.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 3 \frac{0}{- e^{0}}$

चरण 12.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 3 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

चरण 12.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 (\frac{0}{- 1})$

चरण 12.4

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$- 3 \cdot 0$

चरण 12.5

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$0$