कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int {(3 x + 2)}^{4} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 3 x + 2$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 3 x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$3 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 4.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 5

$u^{4}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u^{4}}{3} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

चरण 9

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x^{6}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

चरण 9.2

घातांक को ${(x^{6})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

चरण 9.2.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int x^{- 6} d x$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 6}$ का समाकलन $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$x^{- 5}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

चरण 11.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 5}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

चरण 11.2

सरल करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

चरण 11.3.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{15} u^{5} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

चरण 11.3.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{15} u^{5} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

चरण 11.3.4

$\frac{1}{5 x^{5}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{15} u^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{x^{6}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{15} {(3 x + 2)}^{5} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$