कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$3 \cos (3 θ)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

चरण 1.2

उत्पाद नियम को $3 (\cos (3 θ))$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

चरण 1.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

चरण 2

चूँकि $9$ बटे $θ$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = 3 θ$ .फिर $d u_{1} = 3 d θ$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = 3 θ$ . $\frac{d u_{1}}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$3 θ$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

चरण 3.1.2

चूंकि $3$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $3 θ$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ है.

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 3.2

$θ$ के लिए $u_{1} = 3 θ$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

चरण 3.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.4

$θ$ के लिए $u_{1} = 3 θ$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

चरण 3.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

चरण 3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

चरण 3.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 3.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

चरण 4

$\cos^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{3}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2

$9$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

$\cos^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 12

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 12.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 12.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 12.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 12.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 u_{1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 12.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 12.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 u_{1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 12.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 12.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 12.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

चरण 12.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 13

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 15

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

चरण 16

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $u_{1}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

चरण 16.2

$π$ पर और $0$ पर $\sin (u_{2})$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

चरण 16.3

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

चरण 17.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

चरण 17.3

$\sin (π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

चरण 17.4

$\frac{1}{2}$ और $\sin (π)$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

चरण 18.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

चरण 18.2.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

चरण 18.3

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 18.4

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

$\frac{3}{2}$ को $\frac{π}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

चरण 18.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3 π}{4}$

चरण 19

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3 π}{4}$

दशमलव रूप:

$2.35619449 \dots$