कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 1 - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

चरण 1.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

चरण 1.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - 2 x$ से बदलें.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

चरण 1.1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

चरण 1.1.1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ जोड़ें.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.1.1.2.4

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.1.2.5

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

चरण 1.1.1.2.7

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

${(1 - 2 x)}^{2}$ को $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.2.3.1.2

$- 2 x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.2.3.1.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.2.3.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

चरण 1.1.2.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

चरण 1.1.2.3.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

चरण 1.1.2.3.1.6

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

चरण 1.1.2.3.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

चरण 1.1.2.4

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ है.

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

चरण 1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 4 x + 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ है.

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 1.1.2.7

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ जोड़ें.

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 1.1.2.8

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 1.1.2.9

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 1.1.2.10

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

चरण 1.1.2.11

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.2.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

चरण 1.1.2.13

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$- 6 (- 4 + 8 x)$

चरण 1.1.2.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

चरण 1.1.2.14.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.14.2.1

$- 6$ को $- 4$ से गुणा करें.

$24 - 6 (8 x)$

चरण 1.1.2.14.2.2

$8$ को $- 6$ से गुणा करें.

$24 - 48 x$

चरण 1.1.2.14.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = - 48 x + 24$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 48 x + 24$ है.

$- 48 x + 24$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 48 x + 24 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 48 x + 24 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $24$ घटाएं.

$- 48 x = - 24$

चरण 1.2.3

$- 48 x = - 24$ के प्रत्येक पद को $- 48$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$- 48 x = - 24$ के प्रत्येक पद को $- 48$ से विभाजित करें.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$- 48$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 24}{- 48}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$- 24$ और $- 48$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1.1

$- 24$ में से $- 24$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

चरण 1.2.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1.2.1

$- 48$ में से $- 24$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

चरण 1.2.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

चरण 1.2.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, \frac{1}{2})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 48$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = 0 + 24$

चरण 4.2.2

$0$ और $24$ जोड़ें.

$f'' (0) = 24$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $24$ है.

$24$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, \frac{1}{2})$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

ग्राफ अवतल ऊपर है

चरण 5

अंतराल $(\frac{1}{2}, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 48$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (3) = - 144 + 24$

चरण 5.2.2

$- 144$ और $24$ जोड़ें.

$f'' (3) = - 120$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 120$ है.

$- 120$

चरण 5.3

अंतराल $(\frac{1}{2}, \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (3)$ ऋणात्मक है.

ग्राफ अवतल नीचे है

चरण 6

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

ग्राफ अवतल ऊपर है

ग्राफ अवतल नीचे है

चरण 7