कैलकुलस उदाहरण

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + x^{2}$ और $g (x) = e^{- 2 x}$ है.

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 2 x$ के रूप में सेट करें.

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 3.3.2

$- 2$ को $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.5

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$e^{- 2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

चरण 4.4.2

$- 2 x e^{- 2 x}$ और $e^{- 2 x} (2 x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$e^{- 2 x}$ ले जाएं.

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

चरण 4.4.2.2

$- 2 x e^{- 2 x}$ और $2 x e^{- 2 x}$ जोड़ें.

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

चरण 4.4.3

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

चरण 4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

चरण 4.6

गुणनखंडों को $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$