कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = - 2 x - 4$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = - 2 x - 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 2 x - 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 + 0$

चरण 3.1.4.2

$- 2$ और $0$ जोड़ें.

$- 2$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = - 2 x - 4$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 4 - 4$

चरण 3.3.2

$- 4$ में से $4$ घटाएं.

$u_{lower} = - 8$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = - 2 x - 4$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 2 t - 4$

चरण 3.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

चरण 3.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 4.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

चरण 10

$- 2 t - 4$ पर और $- 8$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

चरण 11

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

चरण 11.1.2

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

चरण 11.2

चूँकि घातांक $- 2 t - 4$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- 2 t - 4}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

चरण 11.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$e^{- 8}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- (0 - e^{- 8})$

चरण 11.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

चरण 11.3.2.2

$0$ में से $\frac{1}{e^{8}}$ घटाएं.

$- - \frac{1}{e^{8}}$

चरण 11.3.2.3

$- - \frac{1}{e^{8}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{1}{e^{8}}$

चरण 11.3.2.3.2

$\frac{1}{e^{8}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{8}}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{e^{8}}$

दशमलव रूप:

$0.00033546 \dots$