कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

चरण 1

$t$

$\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

चरण 2

चूँकि

$2$ बटे

$x$ अचर है,

$2$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

चरण 3

मान लीजिए

$u = - 2 x - 4$ .फिर

$d u = - 2 d x$ , तो

$- \frac{1}{2} d u = d x$ .

$u$ और

$d$

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें

$u = - 2 x - 4$ .

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 2 x - 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$- 2 x - 4$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि

$- 2$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$- 2 x$ का व्युत्पन्न

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.3.3

$- 2$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 3.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

चूंकि

$x$ के संबंध में

$- 4$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$- 4$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$- 2 + 0$

चरण 3.1.4.2

$- 2$ और

$0$ जोड़ें.

$- 2$

चरण 3.2

$x$ के लिए

$u = - 2 x - 4$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 2$ को

$2$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 4 - 4$

चरण 3.3.2

$- 4$ में से

$4$ घटाएं.

$u_{lower} = - 8$

चरण 3.4

$x$ के लिए

$u = - 2 x - 4$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 2 t - 4$

चरण 3.5

$u_{lower}$ और

$u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

चरण 3.6

$u$ ,

$d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 4.2

$e^{u}$ और

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 5

चूँकि

$- 1$ बटे

$u$ अचर है,

$- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 6

$- 1$ को

$2$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 7

चूँकि

$\frac{1}{2}$ बटे

$u$ अचर है,

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ और

$- 2$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2

$- 2$ और

$2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 8.2.2.4

$- 1$ को

$1$ से विभाजित करें.

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में

$e^{u}$ का इंटीग्रल

$e^{u}$ है.

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

चरण 10

$- 2 t - 4$ पर और

$- 8$ पर

$e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

चरण 11

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह

$t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

चरण 11.1.2

जैसे-जैसे

$t$

$\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

चरण 11.2

चूँकि घातांक

$- 2 t - 4$

$- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान

$e^{- 2 t - 4}$

$0$ की ओर एप्रोच करता है.

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

चरण 11.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$e^{- 8}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो

$t$ के

$\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- (0 - e^{- 8})$

चरण 11.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

चरण 11.3.2.2

$0$ में से

$\frac{1}{e^{8}}$ घटाएं.

$- - \frac{1}{e^{8}}$

चरण 11.3.2.3

$- - \frac{1}{e^{8}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.3.1

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{1}{e^{8}}$

चरण 11.3.2.3.2

$\frac{1}{e^{8}}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{8}}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{e^{8}}$

दशमलव रूप:

$0.00033546 \dots$