कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} e^{2 x}$

चरण 1

$x^{2} e^{2 x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

चरण 5.2

$x^{2}$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

चरण 7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

चरण 7.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

चरण 8

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 9.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 9.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

चरण 11

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 11.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 11.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

चरण 12

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 14.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 15

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ को $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 16.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 16.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 16.2.3

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 16.2.4

$\frac{x}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 16.2.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

चरण 16.2.6

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 16.2.7

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 16.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 16.2.9

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

चरण 17

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

चरण 18.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

चरण 18.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

चरण 18.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

चरण 18.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

चरण 18.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

चरण 18.3.3

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

चरण 18.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

चरण 18.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.4.2

$- - \frac{e^{2 x}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.4.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.5

$- x e^{2 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.6

$- x e^{2 x}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.8.1

$- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.8.1.1

$- x e^{2 x} \cdot 2$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

चरण 18.8.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

चरण 18.8.1.3

$e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

चरण 18.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

चरण 18.9

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

चरण 18.10

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

चरण 18.11

$- (2 x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

चरण 18.12

$- (2 x - 1)$ को $- 1 (2 x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

चरण 18.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

चरण 19

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

चरण 20

उत्तर फलन $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$