कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

चरण 1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$4$ को $2$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

चरण 1.2

${\sec (θ)}^{2 + 2}$ को $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

चरण 2

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sec^{2} (θ)$ को $1 + \tan^{2} (θ)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

चरण 3

मान लीजिए $u = \tan (θ)$ .फिर $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = \tan (θ)$ . $\frac{d u}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\tan (θ)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

चरण 3.1.2

$θ$ के संबंध में $\tan (θ)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (θ)$ है.

$\sec^{2} (θ)$

चरण 3.2

$θ$ के लिए $u = \tan (θ)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \tan (0)$

चरण 3.3

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.4

$θ$ के लिए $u = \tan (θ)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

चरण 3.5

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

चरण 4

$(1 + u^{2}) u^{4}$ गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$u^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

चरण 5.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

चरण 5.2.2

$2$ और $4$ जोड़ें.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{6}$ का समाकलन $\frac{1}{7} u^{7}$ है.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

चरण 9

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ और $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.2

$\frac{1}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.4

$\frac{1}{7}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.5

$\frac{1}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.6

$\frac{1}{7}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.7

प्रत्येक व्यंजक को $35$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.7.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.7.2

$5$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.7.3

$\frac{1}{7}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.7.4

$7$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.9

$7$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.10

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.11

$\frac{1}{5}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

चरण 10.2.12

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

चरण 10.2.13

$\frac{1}{7}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

चरण 10.2.14

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{12}{35} - 0$

चरण 10.2.15

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{12}{35} + 0$

चरण 10.2.16

$\frac{12}{35}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{12}{35}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{12}{35}$

दशमलव रूप:

$0.3\overline{428571}$