कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

चरण 1

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 5.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 5.2

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \sin^{2} (t) d t$

चरण 6

$\sin^{2} (t)$ को $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

चरण 11

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 11.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 11.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 11.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 12

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 15

सरल करें.

$\frac{1}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 16

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 16.2

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 16.3

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$\sin (2 \arcsin (x))$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

चरण 17.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

चरण 17.3

$\frac{1}{2}$ और $\arcsin (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

चरण 17.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

चरण 17.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

चरण 19

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$