कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \csc (2 π t)$ .फिर $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , तो $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \csc (2 π t)$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\csc (2 π t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \csc (t)$ और $g (t) = 2 π t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 π t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\csc (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ है.

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 π t$ से बदलें.

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2 π$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 π t$ का व्युत्पन्न $2 π \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

चरण 1.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

चरण 1.1.3.4.2

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u_{2} = \csc (2 π t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

चरण 1.3.1.2

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

चरण 1.3.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

चरण 1.3.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

चरण 1.3.2

$π$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

चरण 1.3.3

$\csc (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $2$ है.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u_{2} = \csc (2 π t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

चरण 1.5.1.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

चरण 1.5.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

चरण 1.5.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

चरण 1.5.2

$π$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

चरण 1.5.3

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

चरण 3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

चरण 4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$1$ पर और $2$ पर $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

चरण 4.2.2

$\frac{1}{2 π}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

चरण 4.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

चरण 4.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

चरण 4.2.4

$\frac{1}{π}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 4.2.5

प्रत्येक व्यंजक को $2 π$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$\frac{1}{π}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

चरण 4.2.5.2

$π \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

चरण 4.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

चरण 4.2.7

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 π}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2 π}$

दशमलव रूप:

$0.15915494 \dots$