कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- d u = \sin (x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \tan (t)$ पर लागू करें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.3

$4 \tan^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.4

$4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.5

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ को ${(2 \sec (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 5.2

$2 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 \sec^{2} (t)$ में से $2 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \int \sec (t) d t$

चरण 6

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

चरण 7

सरल करें.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

चरण 8

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (\frac{u}{2})$ से बदलें.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

चरण 8.2

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

चरण 9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$