कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + 2 x^{2}$ .फिर $d u = 4 x d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + 2 x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + 2 x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$0 + 4 x$

चरण 1.1.4

$0$ और $4 x$ जोड़ें.

$4 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + 2 x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

चरण 1.3.1.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 1.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + 2 x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1

$2$ को $2^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

चरण 1.5.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

चरण 1.5.1.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

चरण 1.5.1.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1 + 8$

चरण 1.5.2

$1$ और $8$ जोड़ें.

$u_{upper} = 9$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$9$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.4

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.5

$\frac{2}{3}$ और $27$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.6

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7

$54$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.1

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.7.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.7.2.4

$18$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 6.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

चरण 6.2.10

$18$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 6.2.11

$18$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 6.2.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

चरण 6.2.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.13.1

$18$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

चरण 6.2.13.2

$54$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

चरण 6.2.14

$\frac{1}{4}$ को $\frac{52}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

चरण 6.2.15

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{52}{12}$

चरण 6.2.16

$52$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.16.1

$52$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (13)}{12}$

चरण 6.2.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.16.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

चरण 6.2.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

चरण 6.2.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{13}{3}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{13}{3}$

दशमलव रूप:

$4.\overline{3}$

मिश्रित संख्या रूप:

$4 \frac{1}{3}$

चरण 8