कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - | x + 1 | + 6$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- | x + 1 | + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- | x + 1 |$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ है.

$- \frac{d}{d x} [| x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = | x |$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$- (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.2.2

$u$ के संबंध में $| u |$ का व्युत्पन्न $\frac{u}{| u |}$ है.

$- (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.2.7

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + 0$

चरण 1.3.2

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = | x + 1 |$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.3.4.2

$| x + 1 |$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.4

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.4.2

$u$ के संबंध में $| u |$ का व्युत्पन्न $\frac{u}{| u |}$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5.2

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5.4.2

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 2.5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 0$

चरण 2.5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + 0$

चरण 2.5.6.2

$- \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.2

$- x - 1$ को $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.3.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.3

$- (x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.4

$- (x + 1)$ को $- 1 (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.5

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.6

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.2

$| x + 1 |$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.1

$| x + 1 | | x + 1 |$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.1.1

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.1.2

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.1.3

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.2

${(x + 1)}^{2}$ को $(x + 1) (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.4.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.4.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.4.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.4.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.4.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.5

${(x + 1)}^{2}$ को $(x + 1) (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.7.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.7.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.7.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.7.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.7.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.9.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.9.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = - \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11

$- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.11.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.2

$- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.11.2.1

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.2.2

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.2.3

$| x^{2} + 2 x + 1 |$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.2.4

$- (x^{2}) - (2 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.2.5

$- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.3

$- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.11.3.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.3.2

$- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.3.3

$- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ को $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.4.11.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

चरण 2.6.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - (- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}})$

चरण 2.6.3.2

$\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ को $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

चरण 2.6.3.3

घातांक जोड़कर ${| x + 1 |}^{2}$ को $| x + 1 |$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.3.1

${| x + 1 |}^{2}$ को $| x + 1 |$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.3.1.1

$| x + 1 |$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

चरण 2.6.3.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

चरण 2.6.3.3.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

चरण 2.6.3.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 1 (\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}})$

चरण 2.6.3.5

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- \frac{d}{d x} [| x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$- (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.2.2

$u$ के संबंध में $| u |$ का व्युत्पन्न $\frac{u}{| u |}$ है.

$- (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.4

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.2.7

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 4.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + 0$

चरण 4.1.3.2

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ है.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 5.4

उन हलों को छोड़ दें जो $- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$कोई हल नहीं$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$| x + 1 | = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x + 1 = \pm 0$

चरण 6.2.2

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x + 1 = 0$

चरण 6.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = - 1$

चरण 8

$x = - 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

चरण 9.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

चरण 9.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

चरण 10.2

पहले व्युत्पन्न $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ में अंतराल $(- \infty, - 1)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f' (- 4) = - \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

चरण 10.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$- 4$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

चरण 10.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.2.1

$- 4$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{| - 3 |}$

चरण 10.2.2.2.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 3$ और $0$ के बीच की दूरी $3$ है.

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{3}$

चरण 10.2.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.3.1

$- 3$ को $3$ से विभाजित करें.

$f' (- 4) = 1$

चरण 10.2.2.3.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = 1$

चरण 10.2.2.4

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 10.3

पहले व्युत्पन्न $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ में अंतराल $(- 1, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = - \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

चरण 10.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = - \frac{1}{| 0 + 1 |}$

चरण 10.3.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.2.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = - \frac{1}{| 1 |}$

चरण 10.3.2.2.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

चरण 10.3.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.3.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

चरण 10.3.2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

चरण 10.3.2.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = - 1$

चरण 10.3.2.4

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$- 1$

चरण 10.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = - 1$ के लगभग बदल दिया, तो $x = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = - 1$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11