कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} - 3 x + 1$ .फिर $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} - 3 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{3} - 3 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 3 + 0$

चरण 1.1.4.2

$3 x^{2} - 3$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 3$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{3} - 3 x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

चरण 1.3.1.2

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{3} - 3 x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

चरण 1.5.1.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

चरण 1.5.2

$8$ में से $6$ घटाएं.

$u_{upper} = 2 + 1$

चरण 1.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 3$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3$ पर और $1$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

चरण 5.2

सरल करें.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

चरण 6.2

$\frac{1}{3}$ और $e^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

चरण 6.3

$\frac{1}{3}$ और $e$ को मिलाएं.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

दशमलव रूप:

$5.78908503 \dots$

चरण 8