कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x - \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - \frac{1}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - \frac{1}{x}$ से बदलें.

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ है.

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.3.2

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

चरण 4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\frac{1}{x}$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

चरण 4.5.2

$1 + x^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

चरण 5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

चरण 5.3.2

$- 2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

चरण 5.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

चरण 5.4

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

चरण 5.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

चरण 5.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

चरण 5.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

$2 x$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.2

$- \frac{2}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.4

$2$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.5

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

चरण 5.6.1.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

चरण 5.6.1.7

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.7.1

$\frac{2}{x}$ को $\frac{1}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

चरण 5.6.1.7.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.7.2.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.7.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

चरण 5.6.1.7.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

चरण 5.6.1.7.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

चरण 5.6.2

$- \frac{2}{x}$ और $\frac{2}{x}$ जोड़ें.

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

चरण 5.6.3

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$