कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2}$

चरण 1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2}$

चरण 1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{1}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ और $e^{- {u_{1}}^{2}}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- {u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $- 1$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $- {u_{1}}^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- (2 u_{1})$

चरण 4.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 u_{1}$

चरण 4.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0^{2}$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = - 0$

चरण 4.3.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1^{2}$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

चरण 4.5.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 1$

चरण 4.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

चरण 4.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 5.2

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ पर और $0$ पर $e^{u_{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

चरण 10.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

चरण 11.3

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

चरण 11.4

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

चरण 11.4.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

चरण 11.5

$4$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

दशमलव रूप:

$0.15803013 \dots$

चरण 13