कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sin (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

चरण 2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

चरण 3

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

चरण 4

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $x^{2} (- \cos (x))$ का मान ज्ञात करें.

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

चरण 7.1.2

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $x \sin (x)$ का मान ज्ञात करें.

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

चरण 7.1.3

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $- \cos (x)$ का मान ज्ञात करें.

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.4

$0$ को $\cos (0)$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.5

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ और $0$ जोड़ें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.6

$\frac{π}{2}$ और $\sin (\frac{π}{2})$ को मिलाएं.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.7

$0$ को $\sin (0)$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.8

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ और $0$ जोड़ें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

चरण 7.1.4.9

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

चरण 7.1.4.10

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

चरण 7.1.4.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

चरण 7.1.4.12

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

चरण 7.1.4.13

$2$ और $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ को मिलाएं.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

चरण 7.1.4.14

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.4.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

चरण 7.1.4.14.2

$π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ को $1$ से विभाजित करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

चरण 7.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

चरण 7.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

चरण 7.2.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

चरण 7.2.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

चरण 7.2.6

${(\frac{π}{2})}^{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

चरण 7.2.7

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

चरण 7.2.8

$0$ और $π$ जोड़ें.

$π - 2 (- 0 + 1)$

चरण 7.2.9

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$π - 2 (0 + 1)$

चरण 7.2.10

$0$ और $1$ जोड़ें.

$π - 2 \cdot 1$

चरण 7.2.11

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$π - 2$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$π - 2$

दशमलव रूप:

$1.14159265 \dots$