कैलकुलस उदाहरण

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

चरण 3

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \sec (6 x)$ .फिर $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ , तो $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = \sec (6 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sec (6 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

चरण 4.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sec (x)$ और $g (x) = 6 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $6 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

चरण 4.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sec (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ है.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

चरण 4.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $6 x$ से बदलें.

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

चरण 4.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

चरण 4.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.3.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

चरण 4.1.3.3.2

$6$ को $\sec (6 x) \tan (6 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

चरण 6

चूँकि $- 5$ बटे $x$ अचर है, $- 5$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

चरण 7

मान लीजिए $u_{3} = 2 x^{2}$ .फिर $d u_{3} = 4 x d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{3} = 2 x^{2}$ . $\frac{d u_{3}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2 x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

चरण 7.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (2 x)$

चरण 7.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x$

चरण 7.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{6}$ और $u_{2}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

चरण 8.2

$\csc^{2} (u_{3})$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{3}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{4}$ और $- 5$ को मिलाएं.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

चरण 10.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

चरण 11

चूंकि $- \cot (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (u_{3})$ है, $\csc^{2} (u_{3})$ का समाकलन $- \cot (u_{3})$ है.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

चरण 12.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

चरण 12.2.2

$\frac{5}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

चरण 12.2.3

$\frac{5}{4}$ और $\cot (u_{3})$ को मिलाएं.

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sec (6 x)$ से बदलें.

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

चरण 13.2

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $2 x^{2}$ से बदलें.

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$