कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{a^{\frac{2}{5}}} x^{4} \sqrt{a^{2} - x^{5}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = a^{2} - x^{5}$ .फिर $d u = - 5 x^{4} d x$ , तो $- \frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = a^{2} - x^{5}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$a^{2} - x^{5}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{5}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a^{2} - x^{5}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ है.

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{5}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$0 - (5 x^{4})$

चरण 1.1.3.3

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 5 x^{4}$

चरण 1.1.4

$0$ में से $5 x^{4}$ घटाएं.

$- 5 x^{4}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = a^{2} - x^{5}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = a^{2} - 0^{5}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

चरण 1.3.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = a^{2} + 0$

चरण 1.3.2

$a^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = a^{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = a^{2} - x^{5}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

घातांक को ${(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

चरण 1.5.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

चरण 1.5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

चरण 1.5.2

$a^{2}$ में से $a^{2}$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 5} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{5}) d u$

चरण 2.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

चरण 5

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- \frac{1}{5} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ पर और $a^{2}$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{5} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.5

$\frac{2}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.6

घातांक को ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 7.2.6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 7.2.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

चरण 7.2.7

$0$ में से $\frac{2}{3} a^{3}$ घटाएं.

$- \frac{1}{5} (- \frac{2}{3} a^{3})$

चरण 7.2.8

$a^{3}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{5} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

चरण 7.2.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{5}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

चरण 7.2.10

$\frac{1}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

चरण 7.2.11

$\frac{1}{5}$ को $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{a^{3} \cdot 2}{5 \cdot 3}$

चरण 7.2.12

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{a^{3} \cdot 2}{15}$

चरण 7.2.13

$2$ को $a^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 a^{3}}{15}$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2}{15} a^{3}$

चरण 9

$\frac{2}{15}$ और $a^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 a^{3}}{15}$