कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$e^{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

चरण 3.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{x^{2}} (2 x)$

चरण 3.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 e^{x^{2}} x$

चरण 3.1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x e^{x^{2}}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = e^{0}$

चरण 3.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

चरण 3.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

चरण 3.6

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $u_{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

चरण 5.2

$e^{t^{2}}$ पर और $1$ पर $\frac{u_{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

चरण 6

चूँकि फलन $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $2$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सतत एकाधिक $2$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 6.2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

चरण 6.2.2

जैसे ही $t$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

चरण 6.2.3

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

चरण 6.3

चूँकि घातांक $t^{2}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{t^{2}}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

चरण 6.4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

चरण 6.4.2

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

चरण 6.4.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\infty - 1}{2}$

चरण 6.4.3.1.2

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$\frac{\infty}{2}$

चरण 6.4.3.2

अनंत को किसी भी चीज से विभाजित किया जाता है जो कि परिमित और गैर-शून्य है, अनंत है.

$\infty$