कैलकुलस उदाहरण

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = | x^{2} - 1 |$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $| x^{2} - 1 |$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $| x^{2} - 1 |$ से बदलें.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = | x |$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $| u_{2} |$ का व्युत्पन्न $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ है.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 3

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ को $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 4

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 5

$x^{2} - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 6

$x^{2} - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

चरण 12

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

चरण 12.2

$2$ और $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

चरण 12.3

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13.3.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13.3.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

चरण 13.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$