कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

चरण 1

ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक स्लाइस के क्षेत्र को परिभाषित करें और फिर पूरे रेंज में एकीकृत करें. प्रत्येक स्लाइस का क्षेत्रफल $f (x)$ और $A = π r^{2}$ त्रिज्या वाले वृत्तों का क्षेत्रफल है.

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ जहां $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

चरण 2

समाकल्य को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

उत्पाद नियम को $\frac{3}{1 + x}$ पर लागू करें.

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 3

चूँकि $9$ बटे $x$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

चरण 4

$9$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 1 + x$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 1 + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1 + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 5.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 1 + x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 5.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 1 + x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 3$

चरण 5.5

$1$ और $3$ जोड़ें.

$u_{upper} = 4$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 6.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 6.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$4$ पर और $1$ पर $- u^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

चरण 8.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

चरण 8.2.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

चरण 8.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

चरण 8.2.5

$- 1$ और $4$ जोड़ें.

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

चरण 8.2.6

$\frac{3}{4}$ और $9$ को मिलाएं.

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

चरण 8.2.7

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

चरण 8.2.8

$\frac{27}{4}$ और $π$ को मिलाएं.

$V = \frac{27 π}{4}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$V = \frac{27 π}{4}$

दशमलव रूप:

$V = 21.20575041 \dots$

चरण 10