कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

चरण 1

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int x \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 5

$x$ और $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 6

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 6.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 6.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u$

चरण 7.2

$2$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

चरण 9

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 9.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 9.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 9.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 11

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ को $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$