कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{2 x}$ और $g (x) = e^{x} + 1$ है.

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.3.2

$2$ को $(e^{x} + 1) e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot ((e^{x} + 1) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

घातांक जोड़कर $e^{2 x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{x + 2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.3

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1.1

$e^{2 x}$ ले जाएं.

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.3.1.1.3

$2 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.3.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 3.7.3.2

$2 e^{3 x}$ में से $e^{3 x}$ घटाएं.

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$