कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

चरण 1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ और $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

चरण 6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$e$ पर और $1$ पर $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

चरण 6.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

चरण 6.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

चरण 6.2.2.3

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

चरण 6.2.2.4

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

चरण 6.2.2.5

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

चरण 6.2.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

चरण 6.2.2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.1.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.2

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.4

$e^{2} - 1$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.1.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = e$ और $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

चरण 7.1.2

$e$ लगभग $2.71828182$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

चरण 7.1.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

चरण 7.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

चरण 7.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

चरण 7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(e + 1) (e - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

चरण 7.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

चरण 7.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1.1

$- 1$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.2.1.2

$- 1 e$ को $- e$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.2.1.3

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.2.2

$- e$ और $e$ जोड़ें.

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.2.3

$e e$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

चरण 7.4.3

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{e e + 1}{2}$

चरण 7.4.4

$e e$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.4.1

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

चरण 7.4.4.2

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

चरण 7.4.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

चरण 7.4.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

दशमलव रूप:

$4.19452804 \dots$

चरण 9