कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

चरण 1

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 1 - 4 x^{2}$ .फिर $d u = - 8 x d x$ , तो $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 1 - 4 x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 - 4 x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - 4 (2 x)$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$0 - 8 x$

चरण 2.1.4

$0$ में से $8 x$ घटाएं.

$- 8 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 1 - 4 x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

चरण 2.3.1.2

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 2.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 1 - 4 x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{4}$ पर लागू करें.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

चरण 2.5.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

चरण 2.5.1.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

चरण 2.5.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

चरण 2.5.1.4.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

चरण 2.5.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

चरण 2.5.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

चरण 2.5.1.5

$- 1 (\frac{1}{4})$ को $- (\frac{1}{4})$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

चरण 2.5.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

चरण 2.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

चरण 2.5.4

$4$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

चरण 3.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

चरण 3.3

$8$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

चरण 5

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{1}{8}$ और $- 8$ को मिलाएं.

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7.1.2

$- 8$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$- 8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.2.1

$8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7.1.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 7.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 7.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 7.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 7.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{3}{4}$ पर और $1$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

चरण 9.2.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{3}{4}$ पर लागू करें.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

चरण 10.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

चरण 10.1.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

चरण 10.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

चरण 10.1.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

चरण 10.1.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

चरण 10.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

चरण 10.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

चरण 10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

चरण 10.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

दशमलव रूप:

$0.26794919 \dots$

चरण 12