कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{5 \sin (x)}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

चरण 2

$5 \sin (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{5 \sin (x)})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$5 \sin (x) \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

चरण 3.2.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \sin (x) \ln (x)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ है.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

चरण 3.2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 3.2.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 3.2.5

$\sin (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 3.2.6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

चरण 3.2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

चरण 3.2.7.2

$5$ और $\frac{\sin (x)}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

चरण 3.2.7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$5 \cos (x) \ln (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\ln (x)$ और $5$ को पुन: क्रमित करें.

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

चरण 5.1.2

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $5 \cdot \ln (x)$ को सरल करें.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

चरण 5.3

$\frac{5 \sin (x)}{x}$ और $x^{5 \sin (x)}$ को मिलाएं.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

चरण 5.4

$x^{5 \sin (x)}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

चरण 5.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

चरण 5.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

चरण 5.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

चरण 5.4.2.5

$5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

चरण 5.5

गुणनखंडों को $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$