कैलकुलस उदाहरण

$y = {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3}}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = 2 \tan^{3} (2 x) - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 5.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{3}$ और ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 6.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

चरण 6.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 6.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \tan^{3} (2 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)]$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \tan (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\tan (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\tan (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 8

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 9.2

$u_{3}$ के संबंध में $\tan (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{3})$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 9.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10.4

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 10.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 0)$

चरण 10.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

$12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

चरण 10.6.2

$12$ और $\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

चरण 10.6.3

$\tan^{2} (2 x)$ और $\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (2 x)$

चरण 10.6.4

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ और $\sec^{2} (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12 \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.6.5

$12$ को $\tan^{2} (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{12 \cdot \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.6.6

$12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 ({(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

चरण 11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)}{{(- 1 + 2 \tan^{3} (2 x))}^{\frac{2}{3}}}$