कैलकुलस उदाहरण

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

चरण 1

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

चरण 2

फलन

$F (x)$ को व्युत्पन्न

$f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} d x$

चरण 4

मान लीजिए

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ .फिर

$d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , तो

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ .

$u_{2}$ और

$d$

$u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें

$u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$e^{x} + e^{- x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$e^{x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 4.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$

$a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 4.1.4

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = e^{x}$ और

$g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u_{1}$ को

$- x$ के रूप में सेट करें.

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.4.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$

$a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को

$- x$ से बदलें.

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.4.2

चूंकि

$- 1$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$- x$ का व्युत्पन्न

$- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

$n = 1$ है.

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 4.1.4.4

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 4.1.4.5

$- 1$ को

$e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 4.1.4.6

$- 1 e^{- x}$ को

$- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} - e^{- x}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और

$d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5

$u_{2}$ के संबंध में

$\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल

$\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |) + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को

$e^{x} + e^{- x}$ से बदलें.

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$

चरण 7

उत्तर फलन

$f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$

$\ln (| e^{x} + e^{- x} |) + C$