कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ से बदलें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 3 x - 1$ और $g (x) = x^{2} + 3$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.6.2

$3$ को $x^{2} + 3$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 3.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.4.1.3

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.4.1.4

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.4.2

$3 x^{2}$ में से $6 x^{2}$ घटाएं.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 9 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.6

$- 3 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.7

$2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.8

$- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.9

$9$ को $- 1 (- 9)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.10

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.11

$- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ को $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 4.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

चरण 5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ और $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

चरण 5.2

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ को $\frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.3

घातांक जोड़कर $x^{2} + 3$ को ${(x^{2} + 3)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x^{2} + 3$ को ${(x^{2} + 3)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$x^{2} + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

चरण 5.3.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$