कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[0, 1]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ का डोमेन ज्ञात करें.

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चरण 1.1

$\frac{4}{x - 2}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x - 2 = 0$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 2}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 2}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, 1]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

चरण 6

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

चरण 7

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

चरण 8

मान लीजिए $u = x - 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 8.1

मान लें $u = x - 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 8.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 8.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 8.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2

$x$ के लिए $u = x - 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 - 2$

चरण 8.3

$0$ में से $2$ घटाएं.

$u_{lower} = - 2$

चरण 8.4

$x$ के लिए $u = x - 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - 2$

चरण 8.5

$1$ में से $2$ घटाएं.

$u_{upper} = - 1$

चरण 8.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

चरण 8.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

चरण 10

$- 1$ पर और $- 2$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

चरण 11

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

चरण 12

सरल करें.

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चरण 12.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 1$ और $0$ के बीच की दूरी $1$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

चरण 12.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $- 2$ और $0$ के बीच की दूरी $2$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

चरण 13

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

चरण 13.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

चरण 14

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

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चरण 14.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 14.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

चरण 14.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

चरण 14.2

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

चरण 15

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ को सरल करें.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

चरण 16

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

चरण 17

एक का कोई भी घात एक होता है.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

चरण 18

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

चरण 19