कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

चरण 1

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x + 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 4.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{u^{3}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

चरण 5.2

$2$ को $u^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

चरण 7

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$u^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

चरण 7.2

घातांक को ${(u^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

चरण 7.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ है.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ को $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

चरण 9.2.2

$2$ को $u^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

चरण 9.2.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2 u^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

चरण 9.2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$

चरण 11

उत्तर फलन $f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$