कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sec (2 x)$ .फिर $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sec (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sec (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sec (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sec (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ है.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

चरण 1.1.3.3.2

$2$ को $\sec (2 x) \tan (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \sec (2 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \sec (0)$

चरण 1.3.2

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \sec (2 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

चरण 1.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

चरण 1.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

चरण 1.5.2

$\sec (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $2$ है.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

चरण 3

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{1}{2} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - \frac{1}{2}$

चरण 3.2.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 3.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 - 1}{2}$

चरण 3.2.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$