कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

चरण 1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

चरण 1.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ है और जिसका योग $b = - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$- 4 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

चरण 1.2.2

$- 4$ को $2$ जोड़ $- 6$ के रूप में फिर से लिखें

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

चरण 1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

चरण 1.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

चरण 1.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

चरण 1.4

महत्तम समापवर्तक, $- x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

चरण 2

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

चरण 3

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x + 2) (x + 6)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

चरण 3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

चरण 3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

चरण 3.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

चरण 3.1.2.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

चरण 3.1.2.1.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

चरण 3.1.2.1.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

चरण 3.1.2.2

$- 6 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$- x^{2} - 4 x + 12$

चरण 3.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

चरण 3.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 3.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

चरण 3.4.2.1.2

ऋणात्मक को $\frac{- 2}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot - 2$

चरण 3.4.2.2

$- 1 \cdot - 2$ को $- - 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$d = - - 2$

चरण 3.4.2.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$d = 2$

चरण 3.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 3.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 3.5.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $- 1 (4)$ पर लागू करें.

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 3.5.2.1.1.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 3.5.2.1.1.4

$4^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 3.5.2.1.1.5

$4^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

चरण 3.5.2.1.1.6

ऋणात्मक को $\frac{4}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

चरण 3.5.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$e = 12 - - 4$

चरण 3.5.2.1.2.2

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$e = 12 + 4$

चरण 3.5.2.2

$12$ और $4$ जोड़ें.

$e = 16$

चरण 3.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x + 2)}^{2} + 16$ में प्रतिस्थापित करें.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = x + 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

चरण 5.2

$- u^{2}$ और $4^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

चरण 6

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ बटे $u$ का समाकलन $\arcsin (\frac{u}{4})$ है

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

चरण 7

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ को $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

चरण 9.2

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

चरण 9.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

चरण 9.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

चरण 9.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

चरण 10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$