कैलकुलस उदाहरण

$2 \arctan (x)$

चरण 1

$2 \arctan (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \arctan (x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 6

$x$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 7

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 7.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

चरण 8.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

चरण 11

सरल करें.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

चरण 13.2

$\arctan (x) x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

चरण 13.3

$\arctan (x) x$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

चरण 13.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 13.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 13.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 13.6

$2$ को $\arctan (x) x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 13.7

गुणनखंडों को $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = 2 \arctan (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$