कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 1.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 1.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 1.9

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.10

$12$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.12

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

चरण 1.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

चरण 2.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

चरण 2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

चरण 2.2.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{2}{3}$ है.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

चरण 2.7.2

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

चरण 2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

चरण 2.10

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

चरण 2.11

$- 4$ और $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

चरण 2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

चरण 2.12.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{5}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

चरण 2.12.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 4.1.2

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 4.1.3

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 4.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 4.1.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 4.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 4.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 4.1.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 4.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 4.1.9

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 4.1.10

$12$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 4.1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.1.12

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.1.13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.13.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

चरण 4.1.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.1.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ है.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 = 0$

चरण 5.3

$4 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

चरण 6.2

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

चरण 6.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\sqrt[3]{x^{2}}$ को $x^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

घातांक को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x^{2} = 0$

चरण 6.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 6.3.3.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.3.3.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 6.3.3.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 9.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

चरण 9.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

चरण 9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

चरण 9.3.2

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{8}{0}$

चरण 9.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$- \frac{8}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 10.2

पहले व्युत्पन्न $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ है.

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3

पहले व्युत्पन्न $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ में अंतराल $(0, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.3.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ है.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

चरण 10.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = 0$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 10.5

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ के लिए कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं मिला.

कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं है

चरण 11